3 απλοί τρόποι προσδιορισμού των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Εσείς που είστε στην 9η τάξη πρέπει να είστε εξοικειωμένοι με τη συζήτηση για τις τετραγωνικές εξισώσεις; Όταν αναφέρεται στη γνώμη των μαθηματικών, η ίδια η τετραγωνική εξίσωση ερμηνεύεται συχνά ως μια ανοιχτή πρόταση που δηλώνει ότι η σχέση είναι ίση με (=) και η υψηλότερη κατάταξη της μεταβλητής είναι δύο.

Η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης εκφράζεται από:

ax² + bx + c = 0, a δεν ισούται με 0

Όπου a, b, είναι οι συντελεστές και c είναι η σταθερά και ≠ 0.

Η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης ax² + bx + c = 0 είναι η τιμή του x που ικανοποιεί την τετραγωνική εξίσωση, ή με άλλα λόγια οι τιμές του x που προκαλούν την τετραγωνική εξίσωση αληθής.

Για παράδειγμα, οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης x² - 4x + 3 = 0 είναι 1 ή 3. Ο λόγος είναι απλός, (1) ² - 4 (1) + 3 = 0 και (3) ² - 4 (3) + 3 = 0 .

Τώρα, το ερώτημα τώρα είναι, πώς παίρνουμε αυτές τις ρίζες;

Για να απαντήσουμε σε αυτό, υπάρχουν τουλάχιστον τρεις τρόποι με τους οποίους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, συμπεριλαμβανομένης της παραγοντοποίησης, των ολοκληρωμένων τετραγώνων και των τετραγωνικών τύπων.

1. Factoring ή factoring

Η παραγοντοποίηση στα μαθηματικά είναι η αποσύνθεση ενός αντικειμένου (για παράδειγμα, ένας αριθμός, πολυώνυμος ή μήτρας) σε ένα προϊόν ενός άλλου αντικειμένου ή παράγοντα, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί δίνει τον αρχικό αριθμό.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 15 λαμβάνεται υπόψη σε πρωταρχικούς αριθμούς ως 3 × 5 και το πολυώνυμο x² - 4 λαμβάνεται υπόψη στο (x - 2) (x + 2). Σε όλες τις περιπτώσεις ένα προϊόν λαμβάνεται από το απλούστερο αντικείμενο.

Για παράδειγμα:

Βρείτε τις ρίζες του x² + 5x + 6 = 0

Απάντηση:

a = 1; b = 5; γ = 6

Δηλαδή, θα αναζητήσουμε δύο αριθμούς που πολλαπλασιάζονται για να δώσουν 6 και να προσθέσουμε έως 5.

Οι αντίστοιχες τιμές είναι 3 και 2, καθώς 3 × 2 = 6 και 3 + 2 = 5

Επομένως, ο συντελεστής είναι (x + 3) (x + 2) = 0

2. Ολοκλήρωση του τετραγωνικού

Ο επόμενος τρόπος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, εκτός από την παραγοντοποίηση, είναι να ολοκληρωθεί το τετράγωνο. Αυτό μπορεί να είναι μια εναλλακτική λύση εάν οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης περιέχουν τη ριζική μορφή (παράλογη) καθιστώντας δύσκολη την παραγοντοποίηση.

Η συμπλήρωση ενός τετραγωνικού μπορεί να γίνει αλλάζοντας ένα από τα τμήματα σε ένα τέλειο τετράγωνο (x + p) ²

Η παραπάνω φόρμα μπορεί να μεταφραστεί στα

(x + p) ² = x² + 2px + p²

όπου a = 1, b = 2p και c = p²

Από b = 2p, τότε p = b / 2. Ως αποτέλεσμα, η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

(x + b / 2) ² = x² + bx + (b / 2) ²

Αυτή η εξίσωση θα χρησιμοποιηθεί αργότερα ως αναφορά στην αλλαγή της μορφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε ένα τέλειο τετράγωνο.

3. Τετραγωνικός τύπος ή τύπος ABC

Ο τετραγωνικός τύπος ή γνωστός ως τύπος ABC μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποκτήσει τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης ανάλογα με τις τιμές a, b και c στους συντελεστές τετραγωνικής εξίσωσης και τον τύπο τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο ABC.

Η χρήση του τύπου για την επίλυση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι αναμφισβήτητα ο ευκολότερος τρόπος. Απλώς αλλάζετε τον συντελεστή x² σε a, τον συντελεστή x σε b και τη σταθερά σε c. Ακολουθεί ένα παράδειγμα: