Μαθηματική λογική, από την άρνηση έως την απλοποίηση

Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος της λογικής και των μαθηματικών που περιέχει μαθηματικές μελέτες της λογικής και την εφαρμογή αυτής της μελέτης σε άλλους τομείς εκτός των μαθηματικών. Η μαθηματική λογική σχετίζεται στενά με την επιστήμη των υπολογιστών και τη φιλοσοφική λογική, με τα κύρια θέματα να είναι η εκφραστική δύναμη της τυπικής λογικής και η αφαιρετική δύναμη των τυπικών συστημάτων απόδειξης. Η μαθηματική λογική διαιρείται συχνά σε κλάδους από τη θεωρία των συνόλων, τη θεωρία του μοντέλου, τη θεωρία αναδρομής, τη θεωρία απόδειξης και τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Αυτά τα πεδία έχουν τα ίδια βασικά αποτελέσματα λογικής.

Δήλωση

Στη μαθηματική λογική, θα μάθουμε να καθορίζουμε την αξία μιας δήλωσης. Η ίδια η δήλωση είναι μια πρόταση που είναι βέβαιο ότι έχει μια πραγματική τιμή ή μια συγκεκριμένη τιμή που είναι ψευδής, αλλά όχι και τα δύο.

Κλειστή δήλωση και ανοιχτή δήλωση

Οι δηλώσεις χωρίζονται στη συνέχεια σε δύο τύπους, κλειστές δηλώσεις (κλειστές προτάσεις) και ανοιχτές δηλώσεις (ανοιχτές προτάσεις) . Μια κλειστή δήλωση είναι μια δήλωση της οποίας η τιμή αλήθειας είναι σίγουρη, ενώ μια ανοιχτή δήλωση είναι μια δήλωση της οποίας η τιμή αλήθειας είναι αβέβαιη.

Παραδείγματα δηλώσεων:

  • 9 είναι ένας περίεργος αριθμός >> αυτή η δήλωση είναι αληθινή
  • Η Τζακάρτα είναι η πρωτεύουσα της Ινδίας >> αυτή η δήλωση είναι ψευδής

Στη μαθηματική λογική, οι δηλώσεις αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα p, q ή r.

Μια ανοιχτή πρόταση είναι μια μαθηματική πρόταση που δεν έχει αξία αλήθειας. Αυτή η πρόταση περιέχει πάντα μεταβλητές.

Παραδείγματα ανοιχτών προτάσεων:

  • Το A είναι γνωστό ως η πόλη της βροχής
  • Η Atha δεν πηγαίνει στο σχολείο λόγω ασθένειας

Σε αντίθεση με τις κλειστές προτάσεις όπου μπορεί να εξακριβωθεί η τιμή αλήθειας, οι ανοιχτές προτάσεις εξακολουθούν να είναι αμφισβητήσιμες, σωστές και λάθος. Επομένως, αυτή η πρόταση δεν μπορεί να λεχθεί ως δήλωση.

Μια ανοιχτή πρόταση μπορεί να μετατραπεί σε δήλωση εάν οι μεταβλητές της πρότασης αντικαθίστανται από μια τιμή έτσι ώστε η πρόταση να έχει τιμή αλήθειας.

Παράδειγμα:

Μια γνωστή ως πόλη βροχής είναι μια ανοιχτή πρόταση, ενώ

Το Μπογκόρ είναι γνωστό ως η πόλη της βροχής είναι πρόταση φράσης

Αρνηση

Αφού καταλάβετε τι είναι μια δήλωση και τι είναι μια ανοιχτή πρόταση, το επόμενο βήμα είναι να συζητήσετε την άρνηση.

Η άρνηση ή επίσης καλείται άρνηση / άρνηση είναι μια δήλωση που αρνείται αυτό που δίνεται. Μια μνήμη δήλωσης μπορεί να σχηματιστεί προσθέτοντας "Δεν είναι αλήθεια ότι ..." μπροστά από τη δήλωση που απορρίπτεται. Αυτό δηλώνεται με ~.

Πείτε το p είναι αληθές, τότε το ~ p είναι ψευδές. Αντίστροφα, εάν το p είναι ψευδές, τότε το ~ p είναι αλήθεια.

Παράδειγμα της άρνησης της δήλωσης:

  1. Η Τζακάρτα είναι η πρωτεύουσα της Μαλαισίας

    Η Τζακάρτα δεν είναι η πρωτεύουσα της Μαλαισίας

  2. Το 9 είναι μονός αριθμός

    Το 9 δεν είναι μονός αριθμός

Σύνθετες δηλώσεις

Στη συνέχεια, η δήλωση μεταφράζεται περαιτέρω σε σύνθετες δηλώσεις, οι οποίες σε αυτήν την περίπτωση χωρίζονται σε διάφορους τύπους:

  1. Σύνδεση
  2. Διαχώριση
  3. Επιπτώσεις
  4. Απλοποίηση

1. Συμφωνίες

Η σύζευξη , η οποία δηλώνεται με το (Ʌ) είναι μια σύνθετη δήλωση με τη σύζευξη "και". Θα ισχύει εάν οι μεταβλητές είναι αληθείς και ψευδείς εάν μία από τις μεταβλητές είναι ψευδής.

Παράδειγμα:

p: Η Τζακάρτα είναι η πρωτεύουσα του κόσμου (δήλωση με πραγματική αξία)

q: Η Τζακάρτα είναι μια μητροπολιτική πόλη (δήλωση με πραγματική αξία)

p ^ q: Η Τζακάρτα είναι η πρωτεύουσα του κόσμου και μια μητροπολιτική πόλη (δήλωση με αληθινές αξίες)

2. Διασύνδεση

Το Disjunction , το οποίο δηλώνεται με το (V) είναι μια σύνθετη δήλωση που σχηματίζεται συνδυάζοντας δύο μεμονωμένες δηλώσεις χρησιμοποιώντας τη σύζευξη "ή". Μια διάσπαση ισχύει εάν μία από τις δηλώσεις είναι αληθής και ψευδής εάν και οι δύο δηλώσεις είναι ψευδείς.

Παράδειγμα:

p: Η Τζακάρτα είναι η πρωτεύουσα του κόσμου (δήλωση με πραγματική αξία)

q: Η Τζακάρτα είναι μια πόλη μαθητών (δήλωση με ψευδή αξία)

pVq: Η Τζακάρτα είναι η πρωτεύουσα του κόσμου ή η φοιτητική πόλη (δήλωση με πραγματική αξία)

3. Επιπτώσεις

Η επίπτωση είναι δύο ερωτήσεις p και q που δηλώνονται με τη μορφή της πρότασης "if p τότε q". Αυτό δηλώνεται με p -> q.

Παράδειγμα:

p: Η Atha είναι επιμελής στη μελέτη (δήλωση με πραγματική αξία)

q: Η Atha πέρασε με μια εξαιρετική βαθμολογία (δήλωση πραγματικής αξίας)

p-> q: Εάν η Atha είναι επιμελής στη μελέτη, τότε η Atha θα περάσει με μια εξαιρετική βαθμολογία (η δήλωση είναι αληθινή)

4. Απλοποιήσεις

Η απλοποίηση είναι μια σύνθετη δήλωση που εκφράζεται με τη μορφή της πρότασης "... εάν και μόνο εάν". Συμβολίζεται με pq, διαβάστε "p if και μόνο εάν q".

Παράδειγμα:

p: 1 + 1 = 2 (η δήλωση ισχύει)

q: 2 είναι ένας μονός αριθμός (ψευδής δήλωση)

pq: 1 + 1 = 2 εάν και μόνο εάν το 2 είναι μονός αριθμός (ψευδή δήλωση τιμής)