Μετασχηματισμός στα Μαθηματικά

Σύμφωνα με το Παγκόσμιο Λεξικό Γλωσσών (KBBI), ο μετασχηματισμός αναφέρεται σε αλλαγές στην εμφάνιση, είτε πρόκειται για μορφή, φύση ή λειτουργία. Ο μετασχηματισμός έχει επίσης την έννοια να αλλάζει τη γραμματική δομή σε μια άλλη γραμματική δομή προσθέτοντας, αφαιρώντας ή αναδιατάσσοντας τα στοιχεία. Εν ολίγοις, μπορούμε να πούμε ότι ο μετασχηματισμός είναι αλλαγή. Αλλά, ξέρετε τι είναι ο μετασχηματισμός στα μαθηματικά;

Ο μετασχηματισμός στα μαθηματικά έχει νόημα ως συνάρτηση που χαρτογραφεί τη θέση κάθε σημείου από την αρχική του θέση σε μια νέα θέση. Υπάρχουν τέσσερις τύποι μετασχηματισμού, δηλαδή μετάφραση, προβληματισμός, περιστροφή και διαστολή.

Το αρχικό σχήμα ενός αντικειμένου πριν από τον μετασχηματισμό ονομάζεται αντικείμενο, ενώ το νέο σχήμα μετά τον μετασχηματισμό ονομάζεται σκιά. Οι μετασχηματισμοί ανάκλασης, περιστροφής και μετάφρασης θα παράγουν το ίδιο σχήμα αντικειμένου με την ίδια εικόνα με το αντικείμενο. Εν τω μεταξύ, στο μετασχηματισμό διαστολής, το αντικείμενο θα αντιμετωπίσει μια αλλαγή στο μέγεθος, αλλά όχι μια αλλαγή στο σχήμα. Λοιπόν, εδώ θα συζητήσουμε τους τέσσερις.

μεταμόρφωση

Μετάφραση (Shift)

Η μετάφραση είναι η μετατόπιση των αντικειμένων σύμφωνα με μια συγκεκριμένη απόσταση και κατεύθυνση. Η μετάφραση είναι ένας μετασχηματισμός που κινεί κάθε σημείο σε ένα επίπεδο με δεδομένη απόσταση και κατεύθυνση. Στον μεταφραστικό μετασχηματισμό, κάθε σημείο κινείται με το ίδιο μέγεθος και κατεύθυνση.

Για παράδειγμα, ένα σημείο μεταφράζεται στο βαθμό που οι μονάδες είναι παράλληλες με τον άξονα Χ και στο βαθμό που οι μονάδες b είναι παράλληλες με τον άξονα Υ. Αυτό σημαίνει ότι το a είναι η οριζόντια κίνηση (θετική προς τα δεξιά, αρνητική προς τα αριστερά) και b είναι η κάθετη κίνηση (θετική προς τα πάνω, αρνητική προς τα κάτω).

μετασχηματισμός2

Αντανάκλαση (Mirroring)

Αντανακλάσεις συναντάμε συχνά σε επιφάνεια καθρέφτη ή σε καθαρή επιφάνεια νερού. Ο ίδιος ο προβληματισμός είναι ένας μετασχηματισμός που χαρτογραφεί κάθε σημείο με τις ακόλουθες συνθήκες.

  1. Το σημείο που βρίσκεται στη γραμμή του καθρέφτη δεν αλλάζει θέση.
  2. Τα σημεία που δεν βρίσκονται στη γραμμή του καθρέφτη θα αντικατοπτρίζονται έτσι ώστε η απόσταση αντικειμένου προς καθρέφτη να είναι ίδια με την απόσταση εικόνας-προς-καθρέφτη.
μετασχηματισμός3

Για να κατανοήσετε τις ιδιότητες του προβληματισμού, εξετάστε την παρακάτω εικόνα.

μετασχηματισμός4

Από αυτήν την εικόνα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εικόνα του καθρέφτη που βρίσκεται πίσω από τη γραμμή του καθρέφτη βλέπει το αντικείμενο. Η διακεκομμένη γραμμή που συνδέει το σημείο εικόνας και το σημείο αντικειμένου είναι κάθετα προς τη γραμμή καθρέφτη. Στη συνέχεια, διαπιστώνουμε επίσης ότι το μήκος του τμήματος και η γωνία της εικόνας είναι ίδια με το μήκος του τμήματος και τη γωνία του αντικειμένου. Το αντικείμενο και η σκιά του έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος, αλλά βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Περιστροφή (περιστροφή)

Η επόμενη μορφή μετασχηματισμού στα μαθηματικά είναι η περιστροφή. Μπορούμε να βρούμε την περιστροφή στην καθημερινή ζωή, για παράδειγμα ο τροχός κινείται στον άξονά του, η κίνηση του χεριού του ρολογιού και η κίνηση της πόρτας όταν ανοίγει και κλείνει.

Η περιστροφή είναι ένας μετασχηματισμός που αλλάζει τις συντεταγμένες ενός σημείου σε ένα σταθερό σημείο συγκεκριμένου μεγέθους και κατεύθυνσης. Η κατεύθυνση περιστροφής μπορεί να είναι δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα. Οι θετικές γωνίες είναι αριστερόστροφα, ενώ οι αρνητικές γωνίες δεξιόστροφα.

Ένα σταθερό σημείο είναι η γωνία περιστροφής, επίσης γνωστή ως το κέντρο περιστροφής. Η γωνία περιστροφής που μετράται από το κεντρικό σημείο ονομάζεται γωνία περιστροφής. Για να κατανοήσετε τις ιδιότητες περιστροφής, εξετάστε την παρακάτω εικόνα.

μετασχηματισμός5

Οι συντεταγμένες της εικόνας που προκύπτουν από την περιστροφή μπορούν να προσδιοριστούν εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κέντρου περιστροφής, η γωνία περιστροφής και η κατεύθυνση περιστροφής. Εάν κάθε γωνιακό σημείο του αντικειμένου περιστρέφεται με την ίδια γωνία περιστροφής, η εικόνα που προκύπτει έχει το ίδιο σχήμα, προσανατολισμό και μέγεθος με το αρχικό αντικείμενο.

Το αντικείμενο και η εικόνα απέχουν από το κέντρο περιστροφής. Το κέντρο περιστροφής είναι το μόνο σημείο που δεν αλλάζει τη θέση του. Ο κάθετος διαχωριστής της γραμμής που συνδέει το σημείο και την εικόνα που διέρχονται από το κέντρο περιστροφής.

Διαστολή (πολλαπλασιασμός)

Η τελευταία μορφή μετασχηματισμού στα μαθηματικά είναι η διαστολή. Η διαστολή είναι ένας μετασχηματισμός που παράγει μια σκιά με σχήμα παρόμοιο με το αρχικό αντικείμενο, αλλά με διαφορετικό μέγεθος. Η προκύπτουσα σκιά μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από το αρχικό αντικείμενο.

μετασχηματισμός6

Κοιτάξτε την εικόνα των νεοσσών πιγκουίνων και των γονέων πιγκουίνων παραπάνω. Με βάση το ύψος τους, γνωρίζουμε ότι οι γονείς πιγκουίνοι είναι 5 φορές μεγαλύτεροι από τους πιγκουίνους. Όταν το αντικείμενο μεγεθύνεται, το μήκος όλων των πλευρών πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή κλίμακας.

Για να κατανοήσουμε μαθηματικά την έννοια της διαστολής, πρέπει να γνωρίζουμε ποιος είναι ο παράγοντας κλίμακας και το κεντρικό σημείο της διαστολής. Ο συντελεστής κλίμακας είναι μια τιμή που καθορίζει πόσο μεγάλη ή μικρότερη είναι η διασταλμένη εικόνα στο αρχικό αντικείμενο. Εν τω μεταξύ, το κεντρικό σημείο της διαστολής χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του σημείου αναφοράς για τη μέτρηση αποστάσεων κατά τη μεγέθυνση ή τη μείωση του αντικειμένου.

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα. Το τρίγωνο ABC μεγεθύνεται έτσι ώστε να λαμβάνεται το τρίγωνο A'B'C '.

μετασχηματισμός7τύπος μετασχηματισμού

Με αυτόν τον τρόπο, γνωρίζουμε ότι ο παράγοντας κλίμακας για το τρίγωνο είναι 3.