Θεώρημα του Πυθαγόρα και πώς να το υπολογίσετε

Το όνομα του Πυθαγόρα αναφέρεται συχνά στα μαθηματικά. Ο ίδιος ο Πυθαγόρας ήταν μαθηματικός από την Ελλάδα που βρήκε ένα σημαντικό θεώρημα, δηλαδή το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ο Πυθαγόρας διατύπωσε ότι στο τρίγωνο ABC με ορθές γωνίες στο C, έχουμε:

τρίγωνο (1)

AB2 = AC2 + CB2

Μπορεί να εξηγηθεί ότι σε ένα δεξί τρίγωνο, η τιμή του τετραγώνου της υποτενούς χρήσης (η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία) είναι ίση με το άθροισμα του τετραγώνου του μήκους των ποδιών του τριγώνου. Αλλά είναι έτσι; Ας δούμε τα παρακάτω στοιχεία.

τρίγωνο2 (1)

Από την παραπάνω εικόνα, μπορούμε να γνωρίζουμε ότι η περιοχή της πράσινης πλατείας είναι 9 μονάδες τις οποίες συμβολίζουμε ως a2. Στο κάτω μέρος, έχουμε ένα μπλε τετράγωνο με έκταση 16 μονάδων και υποθέτουμε ότι είναι b2. Εν τω μεταξύ, έχουμε την ευρύτερη πλατεία, η οποία είναι μια κίτρινη πλατεία με έκταση 49 μονάδων.

(Διαβάστε επίσης: Τύποι για τρίγωνα, περίμετρο και περιοχή)

Μέσα στο κίτρινο τετράγωνο υπάρχει ένα καφέ τετράγωνο. Αν κοιτάξουμε προσεκτικά, το καφέ τετράγωνο περιβάλλεται από 4 κίτρινα δεξιά τρίγωνα με τα πόδια των 3 μονάδων και 4 μονάδων σε μήκος. Πώς προσδιορίζετε την περιοχή ενός καφέ τετραγώνου;

Μπορούμε να διατυπώσουμε τη λύση ως εξής.

τρίγωνο3 (1)

Περιοχή καφέ τετραγώνου = L κίτρινο τετράγωνο - (4 x Δ κίτρινο τρίγωνο)

= 49 - (4 x ½ x 4 x 3)

= 49 - 24

= 25 μονάδες (συμβολίζεται ως c2)

Από εκεί, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η επιφάνεια ενός καφέ τετραγώνου είναι ίση με την έκταση ενός πράσινου τετραγώνου συν την περιοχή ενός μπλε τετραγώνου.

c2 = a2 + b2

Τώρα, ας χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα.

Εάν γνωρίζετε ότι το μήκος QR = 26 cm, PO = 6 cm και OR = 8 cm, προσδιορίστε τα μήκη των PR και PQ!

Λύση:

Στο σχήμα, έχουμε δύο τρίγωνα, δηλαδή ΔOPR και ΔPQR. Για το ΔΟΡ, μπορούμε να το διατυπώσουμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα ως εξής.

PR2 = OP2 + OR2

PR2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

PR = 10 εκ

Εν τω μεταξύ, μπορούμε να διατυπώσουμε το ΔPQR ως εξής.

QR2 = PQ2 + PR2

262 = PQ2 + 100

676 = PQ2 + 100

PQ = 24 εκ