Ορισμός και μορφές εξισώσεων κύκλου

Ο κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων που απέχουν από ένα σημείο. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων καθορίζονται από τη διάταξη των κυκλικών εξισώσεων. Αυτό καθορίζεται με βάση το μήκος της ακτίνας και τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου.

κύκλος1

Στην παραπάνω εικόνα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι OP = OQ. Το σημείο O ονομάζεται το κέντρο του κύκλου, ενώ τα OP και OQ είναι οι ακτίνες. Ας εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα.

κύκλος2

Το P (a, b) είναι το κέντρο του κύκλου και το μήκος της ακτίνας είναι r. Εάν το Q (x, y) είναι ένα σημείο που βρίσκεται στον κύκλο, με βάση τον ορισμό του κύκλου, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι PQ = r. Από αυτό, μπορούμε να διατυπώσουμε την εξίσωση του κύκλου με το P (a, b) ως το κέντρο και το r ως την ακτίνα.

√ (x - a) 2 + (y - b) 2 = r

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2

Ας δούμε ένα παράδειγμα παρακάτω.

Βρείτε την εξίσωση για τον κύκλο του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο σημείο (-5,4) του οποίου η ακτίνα είναι 7!

Από αυτές τις δηλώσεις, γνωρίζουμε ότι a = -5, b = 4 και r = 7. Εάν τα συνδέσουμε στην εξίσωση, λαμβάνουμε την ακόλουθη απάντηση.

(x - (-5)) 2 + (y - 4) 2 = 72

(x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 49

Τι γίνεται με έναν κύκλο του οποίου η κεντρική συντεταγμένη είναι στο P (0,0) Η εξίσωση για τον κύκλο έχει ως εξής.

κύκλος3

Η γενική μορφή της κυκλικής εξίσωσης μπορεί να εκφραστεί στις ακόλουθες μορφές.

 (x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 ή

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 ή

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, όπου P = -2a, Q = -2b και S = a2 + b2 - r2

Όροι για τον προσδιορισμό της εξίσωσης ενός κύκλου

Η κυκλική εξίσωση περιέχει τρεις αυθαίρετες μεταβλητές. Η εξίσωση κύκλου μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστές οι τιμές των τριών μεταβλητών. Για να μάθετε τις τιμές αυτών των τριών μεταβλητών, πρέπει να πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

  1. Οι συντεταγμένες των τριών σημείων στον κύκλο είναι γνωστές.
  2. Είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων στον κύκλο που συνδέονται με τη διάμετρο του κύκλου.
  3. Οι συντεταγμένες του κεντρικού σημείου και οι συντεταγμένες του σημείου στον κύκλο είναι γνωστές.