Τι είναι η μαθηματική επαγωγή;

Τα μαθηματικά παίρνουν ένα τρομακτικό στίγμα για τους μαθητές, παρόλο που όσο περισσότερο εξερευνάτε και εξασκείτε συχνά τα μαθηματικά, τόσο πιο διασκεδαστικό και ευχάριστο θα είναι. Έτσι , τώρα θα σας προσκαλέσουμε να μάθετε περισσότερα για τη μαθηματική επαγωγή. Τι είναι η μαθηματική επαγωγή και σε τι χρησιμοποιείται;

Η ίδια η μαθηματική επαγωγή μπορεί να ερμηνευθεί ως τεχνική απόδειξης στα μαθηματικά. Χρησιμοποιείται για την απόδειξη ειδικών δηλώσεων που περιέχουν φυσικούς αριθμούς. Η απόδειξη χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο παράγει γενικά συμπεράσματα.

Εισαγωγή στη Μαθηματική Επαγωγή

Στην απόδειξη της χρήσης μαθηματικής επαγωγής, λαμβάνονται γενικά συμπεράσματα. Υπάρχουν δύο τύποι συλλογιστικής που χρησιμοποιούνται για να εξαχθούν συμπεράσματα, δηλαδή η συλλογική συλλογιστική και η επαγωγική συλλογιστική.

  • Η αφαιρετική συλλογιστική είναι η συλλογιστική που ξεκινά από γενικές δηλώσεις έως συγκεκριμένες δηλώσεις. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται «γενική-ειδική» προσέγγιση επειδή η συλλογιστική ξεκινά από το γενικό πράγμα και στη συνέχεια ολοκληρώνεται με συγκεκριμένα πράγματα. Παράδειγμα; όλα τα μήλα είναι φρούτα, όλα τα φρούτα μεγαλώνουν σε δέντρα, έτσι όλα τα μήλα αναπτύσσονται σε δέντρα.
  • Η επαγωγική συλλογιστική είναι η συλλογιστική που ξεκινά από συγκεκριμένες δηλώσεις έως γενικές δηλώσεις. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται «γενική-ειδική» προσέγγιση επειδή οι δηλώσεις αποτελούνται από συγκεκριμένα σημεία για να καταλήξουν σε γενικά αποδεκτά συμπεράσματα. Παράδειγμα; Ένας επιβάτης λεωφορείου παρατηρεί ότι κάθε φορά που ο οδηγός λεωφορείου χτυπά τα φρένα, όλοι οι επιβάτες του λεωφορείου θα ωθούνται προς τα εμπρός.

(Διαβάστε επίσης: Μετασχηματισμός στα Μαθηματικά, Όπως;)

Επιπλέον, η μαθηματική επαγωγική μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει την αλήθεια μιας ειδικής υπόθεσης έτσι ώστε να είναι γενικά αποδεκτή. Έτσι, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ως απόδειξη στην επαγωγική λογική.

Εφαρμογή μαθηματικής επαγωγής

Η εφαρμογή της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να βρεθεί σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών. Οι υποθέσεις που διοργανώνονται στα μαθηματικά πρέπει να αποδειχθούν προκειμένου να γίνουν γενικά αποδεκτές. Μια υπόθεση είναι γενικά έγκυρη εάν αποδειχθεί αληθινή για όλες τις αριθμητικές τιμές που χρησιμοποιούνται. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας δήλωσης που μπορεί να αποδειχθεί με αυτόν τον τρόπο.

Αποδείξτε ότι το άθροισμα της σειράς -n odd είναι n2. Όπου το n είναι ένας φυσικός αριθμός.

Λύση: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 ισχύει για κάθε n € A

Το βασικό βήμα: για n = 1, παίρνουμε ότι το P1 = 1 = 12 είναι σωστό.

Βήμα επαγωγής: ας υποθέσουμε ότι για το n = k, το P k είναι αλήθεια. Θα δείξει ότι για n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 είναι αλήθεια.

Δώστε προσοχή στα ακόλουθα βήματα:

Για n = k, τότε P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 είναι αλήθεια.

Προσθέτοντας [2 (k + 1) -1] και στις δύο πλευρές

P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (αποδεδειγμένο)

Αρχές της μαθηματικής επαγωγής

Αφήστε το P (n) να είναι μια δήλωση που περιέχει φυσικούς αριθμούς. Η έκφραση P (n) μπορεί να αποδειχθεί αληθινή για όλους τους φυσικούς αριθμούς n, ακολουθώντας τα βήματα της μαθηματικής επαγωγής.

Ακολουθούν τα αποδεικτικά βήματα χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο:

  1. Αποδείξτε ότι το P (1) είναι αλήθεια ή το P (n) ισχύει για το n = 1.
  2. Εάν το P (k) είναι αληθές τότε το P (k + 1) είναι αληθές για κάθε θετικό ακέραιο

Εάν τα βήματα (1) και (2) είναι σωστά, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι το P (n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n. Το βήμα 1 ονομάζεται βήμα βάσης, ενώ το βήμα 2 ονομάζεται βήμα επαγωγής.