Σύστημα τριών μεταβλητών γραμμικών εξισώσεων και μέθοδος λύσης

Στην αρχιτεκτονική, υπάρχουν μαθηματικοί υπολογισμοί για την κατασκευή κτιρίων, ένας από τους οποίους είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι χρήσιμο για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων της τομής. Οι σωστές συντεταγμένες είναι απαραίτητες για την παραγωγή ενός κτιρίου που ταιριάζει με το σχέδιο. Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε ένα σύστημα γραμμικής εξίσωσης τριών μεταβλητών (SPLTV).

Το σύστημα γραμμικής εξίσωσης τριών μεταβλητών αποτελείται από πολλές γραμμικές εξισώσεις με τρεις μεταβλητές. Η γενική μορφή μιας γραμμικής εξίσωσης τριών μεταβλητών έχει ως εξής.

ax + από + cz = d

a, b, c και d είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά a, b, και c δεν μπορούν όλοι να είναι 0. Η εξίσωση έχει πολλές λύσεις. Μία λύση μπορεί να επιτευχθεί εξισώνοντας οποιαδήποτε τιμή με τις δύο μεταβλητές για τον προσδιορισμό της τιμής της τρίτης μεταβλητής.

Η τιμή (x, y, z) είναι το σύνολο λύσεων για ένα σύστημα τριών μεταβλητών γραμμικών εξισώσεων εάν η τιμή (x, y, z) ικανοποιεί τις τρεις εξισώσεις στο SPLTV. Το σύνολο διακανονισμού SPLTV μπορεί να προσδιοριστεί με δύο τρόπους, δηλαδή τη μέθοδο υποκατάστασης και τη μέθοδο εξάλειψης.

Μέθοδος αντικατάστασης

Η μέθοδος υποκατάστασης είναι μια μέθοδος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων αντικαθιστώντας την τιμή μιας μεταβλητής από τη μία εξίσωση στην άλλη. Αυτή η μέθοδος πραγματοποιείται έως ότου ληφθούν όλες οι μεταβλητές τιμές σε ένα σύστημα τριών μεταβλητών γραμμικών εξισώσεων.

(Διαβάστε επίσης: Σύστημα γραμμικής εξίσωσης δύο μεταβλητών)

Η μέθοδος υποκατάστασης είναι ευκολότερη στη χρήση στο SPLTV που περιέχει εξισώσεις με συντελεστή 0 ή 1. Ακολουθούν τα βήματα για την επίλυση της μεθόδου αντικατάστασης.

  1. Βρείτε μια εξίσωση που έχει απλές φόρμες. Οι απλουστευμένες εξισώσεις έχουν συντελεστή 1 ή 0.
  2. Εκφράστε μια μεταβλητή με τη μορφή των άλλων δύο μεταβλητών. Για παράδειγμα, η μεταβλητή x εκφράζεται σε όρους της μεταβλητής y ή z.
  3. Αντικαταστήστε τις μεταβλητές τιμές που λαμβάνονται στο δεύτερο βήμα σε άλλες εξισώσεις στο SPLTV, έτσι ώστε να ληφθεί ένα σύστημα δύο μεταβλητών γραμμικής εξίσωσης (SPLDV).
  4. Προσδιορίστε τον διακανονισμό SPLDV που αποκτήθηκε στο τρίτο βήμα.
  5. Προσδιορίστε τις τιμές όλων των άγνωστων μεταβλητών.

Ας κάνουμε το ακόλουθο πρόβλημα. Βρείτε το σύνολο των λύσεων για το ακόλουθο σύστημα τριών μεταβλητών γραμμικών εξισώσεων.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Πρώτα, μπορούμε να μετατρέψουμε την εξίσωση (1) σε, z = -x - y - 6 σε εξίσωση (4) Στη συνέχεια, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την εξίσωση (4) στην εξίσωση (2) ως εξής.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Μετά από αυτό, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την εξίσωση (4) στην εξίσωση (3) ως εξής.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Έχουμε τις τιμές για x = -5 και y = -3. Μπορούμε να το συνδέσουμε στην εξίσωση (4) για να πάρουμε την τιμή z ως εξής.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Έχουμε λοιπόν το σύνολο των λύσεων (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Μέθοδος εξάλειψης

Η μέθοδος εξάλειψης είναι μια μέθοδος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων εξαλείφοντας μία από τις μεταβλητές σε δύο εξισώσεις. Αυτή η μέθοδος πραγματοποιείται μέχρι να απομείνει μόνο μία μεταβλητή.

Η μέθοδος εξάλειψης μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε όλα τα συστήματα τριών μεταβλητών γραμμικών εξισώσεων. Αλλά αυτή η μέθοδος απαιτεί ένα μακρύ βήμα, επειδή κάθε βήμα μπορεί να εξαλείψει μόνο μία μεταβλητή. Απαιτούνται τουλάχιστον 3 μέθοδοι εξάλειψης για τον προσδιορισμό του συνόλου διακανονισμού SPLTV. Αυτή η μέθοδος είναι ευκολότερη όταν συνδυάζεται με τη μέθοδο υποκατάστασης.

Τα βήματα ολοκλήρωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξάλειψης είναι τα εξής.

  1. Παρατηρήστε τις τρεις ομοιότητες στο SPLTV. Εάν δύο εξισώσεις έχουν τον ίδιο συντελεστή στην ίδια μεταβλητή, αφαιρέστε ή προσθέστε τις δύο εξισώσεις έτσι ώστε η μεταβλητή να έχει συντελεστή 0.
  2. Εάν καμία μεταβλητή δεν έχει τον ίδιο συντελεστή, πολλαπλασιάστε και τις δύο εξισώσεις με τον αριθμό που καθιστά τον συντελεστή μιας μεταβλητής και στις δύο εξισώσεις ίδιες. Αφαιρέστε ή προσθέστε τις δύο εξισώσεις έτσι ώστε η μεταβλητή να έχει συντελεστή 0.
  3. Επαναλάβετε το βήμα 2 για άλλα ζεύγη εξισώσεων. Η μεταβλητή που παραλείφθηκε σε αυτό το βήμα πρέπει να είναι ίδια με τη μεταβλητή που παραλείφθηκε στο βήμα 2.
  4. Αφού αποκτήσετε δύο νέες εξισώσεις στο προηγούμενο βήμα, προσδιορίστε το σύνολο των λύσεων για τις δύο εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο λύσης συστήματος δύο μεταβλητών γραμμικών εξισώσεων (SPLDV).
  5. Αντικαταστήστε την τιμή των δύο μεταβλητών που αποκτήθηκαν στο βήμα 4 σε μία από τις εξισώσεις SPLTV έτσι ώστε να ληφθεί η τιμή της τρίτης μεταβλητής.

Θα προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εξάλειψης στο ακόλουθο πρόβλημα. Προσδιορίστε το σύνολο των λύσεων SPLTV!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

Το SPLTV μπορεί να προσδιοριστεί με την εξάλειψη της μεταβλητής z. Αρχικά, προσθέστε τις εξισώσεις (1) και (2) για να λάβετε:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ... (4)

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε 2 στην εξίσωση (2) και πολλαπλασιάστε 1 στην εξίσωση (1) για να λάβετε:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Αφού μάθετε την τιμή x, αντικαταστήστε την με την εξίσωση (4) ως εξής.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Αντικαταστήστε τις τιμές x και y στην εξίσωση (2) ως εξής.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Έτσι, το σύνολο των λύσεων SPLTV (x, y, z) είναι (5, 3, -1).